Dzimis 1958. gada 1. septembrī Krāslavā. Mācījās Krāslavas 1. vidusskolā, kuru absolvēja 1976. gadā. Jau skolas gados Anatolijs Ļevša sāka nodarboties ar sportu. Apmeklējot sporta skolu, viņa treneris bija Valentīns Zlidņis, kurš arī atklāja zēnam slēpošanas sporta noslēpumus. Būdams vidusskolnieks, Anatolijs ieguva Latvijas čempiona nosaukumu distanču slēpošanā jauniešu grupā. 1974. gadā Alūksnē viņš uzvarēja skolēnu spartakiādē distanču slēpošanā un tika iekļauts republikas izlasē.

Pēc vidusskolas beigšanas Anatolijs iestājās Latvijas Valsts fiziskās kultūras institūtā, pēc kura absolvēšanas 1984. gadā uzsāka darba gaitas Daugavpilī. No 1996. gada A.Ļevša strādāja par treneri triatlona sekcijā bērnu un jauniešu centrā „Jaunība”.

Daugavpilī darbojās Latvijas vadošie triatlonisti, kuru saimi kūrēja pieredzējušais Anatolijs Ļevša. Viņš aktīvi piedalījās pasaules mēroga sacensībās ultratrialotnānā. Trīs gadus pēc kārtas no 1996.-1998. gadam A.Ļevša izcīnīja pasaules čempiona titulus un uzvarēja meistarsacīkstēs trīskāršajā ultratriatlonā. Havaju salās notikušajā "Ultra Man" ultratriatlona sacensībās, kur piedalījās gandrīz visi vadošie ultratriatlonisti, viņš izcīnīja otro vietu. Francijā prestižajās "Le Delfi 2000" Anatolijs ieguva 3.vietu. 2000. gada augustā Lietuvā Pasaules čempionātā dubulttriatlonā tika iegūta 2.vieta.

25 gadus ilgajā sporta karjerā Ļevša izcīnīja vairāk nekā 20 uzvaras vietējā un starptautiskā mēroga sacensībās. 2009. gadā sportists izcīnīja sudraba medaļu olimpiskajā triatlonā veterāniem Eiropas čempionātā. 2010. gadā Anatolijs Ļevša tika ievēlēts Latvijas Triatlona federācijas valdē.

2010. gadā sportistam pieškirts Daugavpils domes apbalvojums "Goda daugavpilietis", 2018. gadā - V šķiras Triju Zvaigžņu ordenis.

Dzīvo un strādā Daugavpilī.

Krilovs, Anatolijs.  Vai grūti būt sportistam ar Dieva dotu talantu : [par vairākkārtējo pasaules čempionu ultratratlonā, Latvijas čempionu slēpošanā un biatlonā, Triju Zvaigžņu ordeņa kavalieri, titula "Goda daugavpilietis" saņēmēju Anatoliju Levšu] / Anatolijs Krilovs ; tekstā stāsta daugavpilietis Anatolijs Levša // Latgales Laiks. - Nr. 23 (2021, 23. marts), [1.], 7. lpp. Pieejams vietnē latgaleslaiks.lv

Kuzņecovs, Sergejs. Anatolijs Ļevša - Latvijas triatlona virzītājspēks : [par Daugavpils triatlonistu un sportistu treneri Anatoliju Ļevšu] / Sergejs Kuzņecovs ; tekstā stāsta sportists A.Ļevša // Latgales Laiks. - Nr.41 (2016, 27.maijs), 7.lpp. Pieejams vietnē latgaleslaiks.lv

Literatūras saraksts par Anatolija Ļevšas darbību LCB e-katalogā

A. Ļevšas biogrāfija