Dzimis 1982. gada 13. decembrī Rīgā. Pēc trim gadiem ģimene pārcēlās uz dzīvi Daugavpilī, kur tēvs Anatolijs strādāja par juristu, bet māte Broņislava - par ārsti.  2001. gadā Andrejs Elksniņš beidza Daugavpils 1. ģimnāziju. 2007. gadā viņš absolvē Latvijas Policijas akadēmiju ar jurista kvalifikāciju, bet 2009. gadā iegūst tiesību zinātnes maģistra grādu tiesību teorijas un vēstures apakšnozarē.

Strādājis par izmeklētāju Valsts policijā un docētāju Latvijas Policijas akadēmijas Tiesību teorijas un vēstures katedrā.

2009. gadā Andrejs Elksniņš turpināja mācības M.Lomonosova Maskavas Valsts universitātes Juridiskās fakultātes Valsts un tiesību teorijas un politoloģijas katedras aspirantūrā.

Andrejs Elksniņš strādājis par zvērinātu advokātu un partneri zvērinātu advokātu S. Vārpiņa un A. Elksniņa birojā, bijis eksperts Eiropas Komisijas atbalstītās grupas "Fair Trails International" Tiesību ekspertu konsultatīvajā grupā, kā arī ir Eiropas Krimināllietu advokātu biedrības biedrs.

2011. gadā A.Elksniņš pievērsās politiskajai darbībai un ārkārtas Saeimas vēlēšanās tika ievēlēts 11.Saeimā no apvienības “Saskaņas centrs”. Darbojoties Saeimā, guvis ievērību kā aktīvs debatētājs. Darbojies Saeimas Nacionālās drošības komisijā un Juridiskajā komisijā.

2014.gadā ievēlēts 12.Saeimā no partijas “Saskaņa”.

2017. gadā Andrejs Elksniņš balotējās Daugavpils pašvaldības vēlēšanās kā “Saskaņas” saraksta līderis un tika ievēlēts par domes deputātu, bet 26. jūnijā - par domes priekšsēdētāju. 2017. gada 2.septembrī tika atbrīvots no amata, bet 2019. gada 17. janvārī atkārtoti ievēlēts par Daugavpils domes priekšsēdētāju. Atkārtoti atcelts no amata 2020. gada 11. jūnijā.

2021. gada pašvaldību vēlēšanās Andrejs Elksniņš tika ievēlēts par Daugavpils domes deputātu un 1. jūlijā - par Daugavpils domes priekšsēdētāju.

Audzis un mācījies Daugavpilī. Daugavpils domes priekšsēdētājs (2017, 2019, 2021)

1. A.Elksniņa biogrāfija
2. Intervija ar A.Elksniņu (krievu val.)

Literatūras saraksts par Andreja Elksniņa darbību LCB e-katalogā